3-manifold

I matematik, en 3-manifold er en 3-manifold i den forstand, topologiske, PL eller differentierede sorter.

Nogle fænomener er relateret specifikt til dimensionen 3, således at der i denne dimension, særlige teknikker sejre, der ikke generalisere til højere dimensioner. Denne specificitet af 3-sorter har ført til opdagelsen af ​​deres tætte forhold med flere områder såsom knude teori, geometriske gruppe teori, hyperbolsk geometri, talteori, teorien om Teichmüller, kvantefeltteori topologisk, gauge teorier, Floer homologi og partielle differentialligninger.

3-sorter teori er en del af den lav-dimensionale topologi, og dermed den geometriske topologi.

Et centralt idé om denne teori er at studere en 3-manifold M ved at overveje specifikke overflader nedsænket i overfladen M. Vælg "godt placeret" i 3-mangfoldige fører til ideen om usammentrykkelig overflade og teorien om sorter Haken; ændringen såsom de supplerende stykker er de mere "behagelige" som muligt fører til nedbrydning af Heegard nyttige selv i ikke-Haken sag.

De 3-sorter har ofte ekstra struktur: en af ​​de otte Thurston geometrier. Den kombinerede brug af denne geometri og dyk overflader har vist sig frugtbart.

Den grundlæggende gruppe af en 3-manifold giver mange oplysninger om sin geometri og topologi, hvor samspillet mellem teori om topologiske grupper og metoder.

Vigtige eksempler på 3-mangfoldigheder

  • 3-dimensional euklidisk rum
  • 3-kugle S
  • Særlig ortogonale gruppe SO
  • Tore T
  • Hyperbolsk rum H
  • Poincaré homologi sfære
  • Seifert-Weber-området
  • Sort af Gieseking

Nogle vigtige klasser af 3-mangfoldigheder

  • Graphées sorter
  • Supplering af knuder eller interlacing hyperbolsk (otte node, interlacing Whitehead, Borromean ringe ...)
  • Sorter Haken
  • Homologi 3-kugler
  • Hyperbolske 3-mangfoldigheder
  • Bundter overflader på cirklen, især kerner af homeomorphisms af torus T
  • Bundles intervaller eller i cirkler på en overflade
  • Sorter Seifert
  • 3-manifolder leveres med en kontakt struktur

Kritiske bemærkninger

Nogle af disse teoremer har bevaret deres historiske navne formodninger.

Start med de rent topologiske resultater:

  • Moise sætning - enhver 3-manifold har en triangulering, unik for subdivison nær byen.
    • Konsekvens - Alle kompakte 3-manifold har en nedbrydning Heegard.
  • Milnor nedbrydning sætning
  • Lemma endelighed Kneser-Haken
  • Teoremer af løkken og inden for Papakyriakopoulos
  • Teoremer af kronen og torus
  • Nedbrydning ring Jaco -Shalen og Johannson
  • Scott Sætning af den kompakte hjerte
  • Sætning Lickorish-Wallace
  • Teoremer af topologisk stivhed Waldhausen

Teoremer af geometri, som spiller en vigtig rolle i beviset:

  • Smith formodninger, at der for enhver diffeomorfi S af endelig orden, er kredsen af ​​faste punkter ikke er etableret.
  • Sætning cyklisk kirurgi

Resultater, der udtrykkeligt vedrører geometri og topologi:

  • Thurston sætning af hyperbolske Dehn kirurgi
  • Sætning -Thurston Jørgensen, at ordren på det sæt af finite volume hyperbolske 3-manifolder, er af typen
  • Thurston geometrization formodninger
  • Poincaré formodninger
  • Marden formodninger eller teorem geometrisk kloge tips
  • Sætning terminal lamineringer