Abelsk Og Tauberian teoremer

I matematik, specifikt i analysen, kaldet Abelian Og Tauberian Theorems teoremer give betingelser for forskellige metoder til summen divergerende serie fører til det samme resultat. Deres navne kommer fra Niels Henrik Abel og Alfred Tauber, de første eksempler er Abel teorem viser, at summen af ​​Abel af en konvergent række er sat til summen af ​​denne serie, og Tauber sætning viser, at hvis abel summation er muligt, og at koefficienterne i serien betragtes er små nok, så rækken konvergerer.

Definitioner

Generelt er de Abelian teoremer give to betingelser for summation metoder fører til samme resultat; de taubériens teoremer giver betingelser over en række, så når det er summable ved den givne metode, det er faktisk konvergerer. Men der er virkelig ingen universelt accepteret definition af betydningen af ​​disse vilkår.

Abelian teoremer

For en given summationsmetoden, L, den tilsvarende Abelian sætning, at hvis c = er en konvergent sekvens grænse C, derefter L = C. Et eksempel er givet ved fremgangsmåden ifølge Cesàro hvor vi tager grænsen L aritmetiske gennemsnit af de første N form af C, når N går mod uendelig: det viser, at hvis v konvergerer til C, det samme er tilfældet med pakken, hvor dN = / N.

Navnet kommer fra teoremer af Abel teorem om potensrækker. I dette tilfælde er L er den radiale grænse for hele serien med den almene ANZ sigt opnås ved at sætte z = r · e og ved at lade r med 1 lavere værdier; denne metode har naturligvis nyttigt, hvis række konvergensradius er 1, og i dette tilfælde, sætningen Abel, at den radiale grænse for rækken er lig med dens værdi ved r = 1, hvis serien konvergerer på dette punkt.

Teoremer taubériens

Gensidige Abelian teoremer kaldes taubériens teoremer. Den oprindelige resultat opnås ved Alfred Tauber anført, at hvis den radiale grænse findes, og hvis vi også antage n = o, så serien opnås ved at sætte r = 1 også konvergerer. Dette resultat blev forbedret af John Edensor Littlewood, som viste, at det er tilstrækkeligt, at en = O. En mere generel form, er stadig den Tauberian sætning af Hardy-Littlewood.

Således generelt en abelsk sætning hedder, at L domæne af et summerende proces indeholder alle konvergerende sekvenser, og at værdien af ​​L for disse sekvenser er deres grænse. En Tauberian sætning hedder det, at under visse betingelser i asymptotisk opførsel, suiterne er evalueret af L er præcis de konvergerende sekvenser.

Især i betragtning af, at L er en slags generaliseret grænse af vejede gennemsnit, Tauberian læresætning siger, at under visse forudsætninger, kan man gøre uden denne vægtning. Denne type af resultat har mange anvendelser i talteori, især i håndtering Dirichlet serien.

Teorien tog en ny impuls efter meget generelle resultater opnået af Norbert Wiener, især ved Wiener Tauberian sætning og dens brede sæt af afledt. Denne sætning, som lyste uventede forbindelser mellem Fourier analyse og metoder fra studiet af Banach algebraer, alene dækker en stor del af de tidligere resultater.

Noter

  • ↑ Det er reduceret til sagen serien ved at bemærke, at cn er den n'te delvise summen af ​​serien med generelle udtryk an = cn + 1 - cn.
  • ↑ A. Tauber, "Ein Satz aus der Theorie der Reihen Unendlichen" Monatsh. F. Math., Vol. 8, 1897, s. 273-277
Forrige artikel Augustów Canal
Næste artikel Anatole Bartholoni