Associativ algebra over et felt

I matematik, en associativ algebra over et felt er et vektorrum hvori defineres som en multiplikation af vektorer, som har den fordelende egenskaber, bilinearity og associativitet. Med andre ord, det er både en associativ algebra og algebra over et felt.

Definition

En associativ algebra over en kommutativ krop er et vektorrum med en bilineær multiplikation som

  • z = x for alle x, y og z,

hvor billedet er betegnet xy.

Hvis en enhed indeholder, dvs. et element 1, således at 1x = x1 = x for alle x i, så kaldes UnitAl eller enhedsstat associativ algebra. En sådan algebra er en ring og indeholder den grundlæggende krop ved at identificere ic med c1 i.

Størrelsen af ​​et associativt algebra over et felt er dens dimension som et vektorrum.

Eksempler

Kommutativ algebra og UnitAl

  • Komplekse tal udgør en associativ, kommutativ algebra og enhedsstat dimension 2 over området for reelle tal.
  • De polynomier med koefficienter i en form, associative, kommutativ og enhedsstat algebra af uendelig dimension løbet.

Ikke nødvendigvis kommutativ algebra

  • Sættet af endomorphisms af en vektor 𝕂 n-dimensionelle rum, udstyret med summen af ​​skalar multiplikation og sammensætning danner en ikke-kommutativ associativ algebra n² 𝕂 dimension. Sættet af n × n matricer med koefficienter i 𝕂, begavet med summen og matrix-produkt, og skalar multiplikation som associativ formular 𝕂-algebra af samme størrelse: det program, der kombinerer en endomorfien sin repræsentant matrix et fast sted, er en isomorfi af 𝕂-algebra.
  • Quaternions danner en associativ ensartet algebra og ikke-Kommutativ 4-dimensional over marken af ​​reelle tal.
  • For enhver vektor plads V, de endomorphisms i V danner en enhedsstat associativ algebra, noncommutative hvis størrelsen er & gt; 1.
  • Symmetrisk algebra og udvendig algebra af et vektorrum er associative algebraer.
  • De tilstødende algebraer af Lie algebraer er associative algebraer.
  • Forekomst algebraer af lokalt endelige delvise ordrer er associative algebraer, der anvendes i kombinatorik.

Mod-eksempler

  • Lie algebraer er ikke-associative algebraer.
  • De octonions udgør en ikke-UnitAl associativ algebra og ikke-kommutativ.
Forrige artikel Alençon
Næste artikel Aigueblanche