Axiom af anti-fond

Anti-fundament aksiom aksiom er et alternativ til den stiftende aksiom af mængdelære, som tillader uendelige kæder faldende til medlemskab forhold på sæt. Det gør det muligt for eksempel til et sæt tilhører selv eller til to forskellige sæt af tilhørsforhold til hinanden. Af Marco Forti og Furio Honsell i 1983, blev det populariseret af bogen ikke velbegrundet Peter sætter Aczel, udgivet i 1988.

Det er et aksiom, der foreslår en udvidelse af set-ontologi. Faktisk i en verden af ​​ZF teori er det altid muligt at definere en del af det, universet von Neumann, som opfylder alle aksiomer af ZF og aksiom af fundament, er det de velbegrundede sæt. Den anti-fundament aksiom har den konsekvens, at von Neumann universet er ikke hele universet: Der er ikke-velfunderede sæt. Denne vision var blevet forudset af matematikeren Dmitry Mirimanoff.

Aksiom af fundament

ZFC aksiomer undtagen extensionality tilstand og grundlaget for eksistensen af ​​nye sæt fra eksisterende sæt; Vi kan overveje, at de giver metoderne til "konstruktion" af disse sæt.

Aksiom af fundament ontologi sæt grænser for velbegrundede sæt, er det svarer til, hvad et sæt hører til von Neumann kumulative hierarki, bygget på den tomme sæt ved iteration alle parter, og ved mødet. De sædvanlige matematiske sæt, og mere generelt dem bygget fra den tomme sæt ved iteration regler sæt avler beskrevet af andre aksiomer tilhører von Neumann hierarki. Enhver univers, der opfylder aksiomer af ZFC teori uden grundlag aksiom indeholder således et univers, von Neumann universet, er udstyret med den begrænsede medlemskab forhold til sidstnævnte, opfylder de aksiomer i ZFC og aksiom fundament og base forsamlinger bor i dette univers. En konsekvens er også, at hvis ZFC teori uden grundlag aksiom er i overensstemmelse med teorien ZFC aksiom af fundament er konsistent.

Men det viser også, at hvis teorien ZFC er konsistent så ZFC teori uden aksiom af fundament, men med den benægtelse af dette aksiom er konsistent.

Således kan ændres begrænsningen af ​​set-ontologi, der giver grundlaget aksiom; hvad aksiom af anti-Foundation, som samtidig ikke en eneste benægtelse af aksiom af fundament, tilbyder en anden terminal til, hvad der betragtes som en helhed.

I teorien ZF sæt ifølge Mostowski sammentrækning lemma, for ethvert sæt E med en veletableret forbindelse R, der er en unik funktion defineret på E π og kontrol for enhver ven med E

ved rekursiv definition på velfunderet relation R. Lad F E billede sammen af ​​π, π derefter definerer en morphism af ∈ π), F er sammenbruddet af af Mostowski.

Opgørelse af aksiom

Opgørelsen af ​​anti-fundament aksiom er en direkte generalisering af lemmaet Mostowski et forhold, eller graf, man ikke nødvendigvis begrundet.

En graf G kan ses som grafen for en relation R på et sæt E. dekoration på en graf G er en π funktion defineret på E, der forbinder hvert knudepunkt E af alle dekorationer elementer i dens forgængere R:

En dekoration er generelt ikke-injektiv, idet for eksempel det kombinerer historie til enhver node uden den tomme mængde.

Anti-fundament aksiom er:

Anti-fundament aksiom. Hver grafen har én og kun én udformning.

Ved at vælge en relation R er ikke velbegrundet, kan opnås ved at dekorere et sæt, der ikke er begrundet, som vist i eksemplerne i næste afsnit, dvs., modsiger AFA 'aksiom af fundament.

AFA siger, at hvert knudepunkt i grafen repræsenterer en brønd og et enkelt sæt. Omvendt, men det er en sætning, alle sammen være repræsenteret af en sådan graf, ikke blot i almindelighed.

Udsmykningen π definerer en morphism π på billedet indstillet med medlemskabet forhold, men som allerede nævnt ovenfor, kan denne morphism ikke være injektiv. To knudepunkter med samme historie i R identificeres ved π, og på grund af disse identifikationer, kan der være andre tilfælde.

Eksempler

Anvendelse AFA aksiom graf med kun et punkt, og hvor pilen, der peger på ham fra det, der udgør det sæt Ω, der kontrollerer

Desuden siger AFA én sæt opfylder denne ligning.

To sæt A og B hver tilhører blot svarer til 2 point der peger mod hinanden.

Forrige artikel Avenue Junot
Næste artikel Abu Hafs al-Urduni